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23《高等数学Ⅰ(2)》(理工)期末试卷一》知识点复习纲要

总览与复习策略建议：

这份试卷体现了对学生数学基础知识的全面掌握、概念理解的深度、计算能力的准确性以及解决实际（数学）问题的能力的综合考查。复习时，建议采取“点-线-面”结合的方式：

  • 点： 掌握每一个核心定义、定理、公式。
  • 线： 理解不同知识点之间的联系和推导，形成逻辑链条。
  • 面： 将知识点放入整体框架中，理解其在数学体系中的地位和应用。
  • 训练： 大量练习，提高计算熟练度和解题速度，并养成严谨的解题习惯。

一、向量代数与空间解析几何

（对应试卷：填空1，选择1）

1. 向量的基本概念与运算

  • 核心概念： 向量（方向与大小），零向量，单位向量，位置向量。
  • 向量的线性运算： 加法、减法、数乘。几何意义（平行四边形法则、三角形法则）。
  • 数量积（点积）：
    • 定义： $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$，其中 $\theta$ 为两向量夹角。
    • 坐标表示： $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$, $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$。
    • 性质：
      • 交换律：$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
      • 分配律：$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
      • 结合律（与数乘）：$(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$
      • 自身点积： $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$。这是计算向量模（长度）的关键。
      • 垂直条件： $\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ (若 $\vec{a}, \vec{b}$ 均为非零向量)。
    • 几何意义： 投影（$\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影为 $|\vec{a}|\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$）。
  • 向量积（叉积）：
    • 定义： $\vec{a} \times \vec{b}$ 是一个向量，其模为 $|\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta$，方向由右手定则确定，垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 构成的平面。
    • 坐标表示： 行列式形式。
    • 性质： 反交换律，分配律，结合律（与数乘）。
    • 平行条件： $\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$。
    • 几何意义： 模表示由两向量构成的平行四边形面积。
  • 混合积： 表示平行六面体的体积。

【试题关联：填空1】

  • 考查点积的性质：$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ 和垂直条件 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$。
  • 解题思路： $(2\vec{a}+\vec{b}) \cdot (2\vec{a}+\vec{b}) = (2\vec{a}) \cdot (2\vec{a}) + 2(2\vec{a}) \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = 4|\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$。代入已知条件即可。

2. 空间直线与平面方程

  • 平面的方程：
    • 一般式： $Ax + By + Cz + D = 0$。其法向量为 $\vec{n} = (A, B, C)$。
    • 点法式： $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$ (过点 $(x_0, y_0, z_0)$，法向量 $\vec{n}=(A,B,C)$)。
  • 直线的方程：
    • 一般式（两平面交线）： $\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}$
    • 点向式（对称式）： $\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n}$ (过点 $(x_0, y_0, z_0)$，方向向量 $\vec{s}=(l,m,n)$)。
    • 参数式： $\begin{cases} x = x_0 + lt \ y = y_0 + mt \ z = z_0 + nt \end{cases}$。
  • 直线与平面的关系：
    • 垂直： 直线的方向向量平行于平面的法向量。
    • 平行： 直线的方向向量垂直于平面的法向量。
    • 相交： 通过联立方程求解。

【试题关联：选择1】

  • 考查直线与平面垂直的条件：直线的方向向量就是平面的法向量。
  • 解题思路： 平面方程 $x-3y+2z+5=0$ 的法向量是 $\vec{n}=(1, -3, 2)$。通过原点 $(0,0,0)$ 且垂直于该平面的直线，其方向向量即为 $\vec{n}$。因此直线方程为 $\frac{x-0}{1} = \frac{y-0}{-3} = \frac{z-0}{2}$。

【易错点与提醒】

  • 点积和叉积的几何意义和计算公式要区分清楚。
  • 判断向量平行和垂直的条件不要混淆（点积为0 vs 叉积为0）。
  • 在写直线和平面方程时，注意所需的点和向量的类型（方向向量 vs 法向量）。

二、多元函数微分学

（对应试卷：填空2，选择2，选择3，解答4）

1. 多元函数的概念

  • 定义域、值域、曲面、等高线（等值面）。

2. 偏导数与全微分

  • 偏导数： 对其中一个变量求导，将其他变量视为常数。
    • 几何意义： 沿着坐标轴方向的切线斜率。
  • 高阶偏导数： 混合偏导数（二阶导数顺序无关的条件）。
    • 定理： 若 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在某点连续，则在该点 $f_{xy} = f_{yx}$。
  • 全微分： $dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$。
    • 几何意义： 曲面在某点切平面上 $z$ 的增量。
    • 近似计算： $f(x+\Delta x, y+\Delta y) \approx f(x,y) + df$。

3. 多元函数的连续性、可偏导性、可微性

  • 概念辨析：
    • 存在偏导数 $\nRightarrow$ 连续 $\nRightarrow$ 可微。
    • 可微 $\Rightarrow$ 连续 $\Rightarrow$ 存在偏导数。
    • 偏导数存在且连续 $\Rightarrow$ 可微。
  • 【试题关联：选择2】 考查对这些概念之间关系的理解。选择D是正确答案，因为偏导数存在只能保证函数在沿坐标轴方向上是光滑的，不能保证其他方向，因此不能推出连续性和可微性。

4. 隐函数求导

  • 直接法： 将隐函数视为复合函数，利用链式法则。
  • 公式法：
    • 若 $F(x,y)=0$ 确定 $y$ 是 $x$ 的隐函数，则 $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$。
    • 若 $F(x,y,z)=0$ 确定 $z$ 是 $x,y$ 的隐函数，则 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}$, $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$。

5. 复合函数求导（链式法则）

  • 核心： 搞清自变量、中间变量、因变量之间的依赖关系，画出变量关系图。
  • 【试题关联：选择3】 考查复合函数的高阶偏导数。
    • $z = f(r)$, $r = \sqrt{x^2+y^2}$。
    • $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{dz}{dr} \frac{\partial r}{\partial x} = f’(r) \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} = f’(r) \frac{x}{r}$。
    • $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (f’(r) \frac{x}{r}) = f’’(r) \frac{\partial r}{\partial x} \frac{x}{r} + f’(r) \frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{r})$ $= f’’(r) \frac{x}{r} \frac{x}{r} + f’(r) \frac{r \cdot 1 - x \cdot (x/r)}{r^2} = f’’(r) \frac{x^2}{r^2} + f’(r) \frac{r^2-x^2}{r^3} = f’’(r) \frac{x^2}{r^2} + f’(r) \frac{y^2}{r^3}$。
    • 同理，$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = f’’(r) \frac{y^2}{r^2} + f’(r) \frac{x^2}{r^3}$。
    • 相加即可得到结果。这是在极坐标系中求解拉普拉斯算子的前置知识。

6. 曲面的切平面与法线

  • 对于 $z=f(x,y)$ 形式：
    • 切平面方程：$z - z_0 = f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$。
    • 法线方程：$\frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)} = \frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)} = \frac{z-z_0}{-1}$。
  • 对于 $F(x,y,z)=0$ 形式（水平集/等值面）：
    • 梯度向量： $\nabla F = (\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z})$。梯度向量垂直于等值面。
    • 切平面方程： $F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0) + F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0) + F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0) = 0$。
    • 法线方程： $\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)} = \frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)} = \frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}$。
  • 【试题关联：填空2】 考查 $F(x,y,z)=0$ 形式的切平面方程。
    • 解题思路： 将曲面方程 $3x^2 - 2y^2 + z^2 - 2z = 0$ 视为 $F(x,y,z)=0$。
    • 求偏导：$F_x = 6x$, $F_y = -4y$, $F_z = 2z-2$。
    • 在点 $(1,1,1)$ 处求值：$F_x(1,1,1)=6$, $F_y(1,1,1)=-4$, $F_z(1,1,1)=0$。
    • 代入切平面方程：$6(x-1) - 4(y-1) + 0(z-1) = 0$，化简得 $6x - 4y - 2 = 0$，即 $3x - 2y - 1 = 0$。

7. 多元函数极值

  • 无条件极值：
    • 驻点： 令所有一阶偏导数等于零，解出 $(x,y)$。
    • 第二偏导数判别法：
      • 设 $A = f_{xx}$, $B = f_{xy}$, $C = f_{yy}$。
      • 判别式 $\Delta = AC - B^2$。
      • 若 $\Delta > 0, A > 0$：极小值。
      • 若 $\Delta > 0, A < 0$：极大值。
      • 若 $\Delta < 0$：鞍点。
      • 若 $\Delta = 0$：无法判断，需另行分析。
  • 【试题关联：解答4】 考查无条件极值的求解。
    • 解题思路： 按照上述步骤，先求一阶偏导并置零求驻点，再求二阶偏导计算判别式，最后根据判别式判断极值类型。注意对分母为 $x$ 的项求导时不要出错。

【易错点与提醒】

  • 可微性、连续性、偏导数存在性之间的关系是常考陷阱。
  • 复合函数求导时，要理清变量依赖关系，防止漏项或多项。
  • 求极值时，二阶偏导判别法的条件和结论要记清楚。当 $\Delta=0$ 时，不能简单下结论，需要特殊考虑。

三、重积分

（对应试卷：填空3，选择4，解答1）

1. 二重积分

  • 几何意义： 曲顶柱体的体积。
  • 计算方法：
    • 直角坐标系下： 化为累次积分 $\iint_D f(x,y) dx dy$ 或 $\iint_D f(x,y) dy dx$。
    • 积分区域的表示： 区域类型、边界曲线。绘制区域图是关键。
    • 改变积分次序： 必须重新描绘积分区域并确定新的积分限。
  • 【试题关联：填空3】 考查改变积分次序。
    • 原积分限： $0 \le y \le 1$, $0 \le x \le y$。
    • 积分区域： 直线 $x=0$, $y=1$, $x=y$ 围成的三角形区域。
    • 改变次序后： 先对 $y$ 积分，后对 $x$ 积分。
      • $x$ 从 $0$ 到 $1$。
      • 对于固定的 $x$， $y$ 从 $x$ 到 $1$。
    • $\int_0^1 dy \int_0^y e^{x^2} dx$ 应该改为 $\int_0^1 dx \int_x^1 e^{x^2} dy$。
    • 核心： 题目写错了积分顺序！原题是 $\int_0^1 dy \int_0^y e^{x^2} dx$，这个内积分是无法用初等函数积出的。正确写法应该是 $\int_0^1 dx \int_x^1 e^{y^2} dy$ 或者 $\int_0^1 dy \int_y^1 e^{x^2} dx$。 试卷给出的答案 $(e-1)/2$ 提示可能是 $\int_0^1 dx \int_x^1 e^{y^2} dy$ 或类似的。 如果题目是 $\int_0^1 dx \int_x^1 e^{y^2} dy$ 那就是 $\int_0^1 (e^{y^2}y|_x^1) dx = \int_0^1 (e^{y^2}y) |_x^1 dx$ 这个也是不方便计算的。 如果题目是 $\int_0^1 dx \int_x^1 y e^{x^2} dy$ 呢？ 那就是 $\int_0^1 (\frac{1}{2}y^2 e^{x^2})|_x^1 dx = \int_0^1 \frac{1}{2}(1-x^2)e^{x^2} dx$ 也不好算。 如果题目是 $\int_0^1 dy \int_0^y x e^{y^2} dx$ 呢？ 那么 $\int_0^1 (\frac{1}{2}x^2 e^{y^2})|_0^y dy = \int_0^1 \frac{1}{2}y^2 e^{y^2} dy$ 也不好算。
    • 重新审视原题的答案和形式： $e^{x^2}$ 的原函数不是初等函数。这说明积分次序的改变是必须的。原题的内积分对 $x$ 积分，但被积函数是 $e^{x^2}$，这在初等函数范围内无法积分。这意味着 $e^{x^2}$ 实际上是 $e^{y^2}$ 或者其他的形式。结合答案 $(e-1)/2$，最常见的考法是把 $e^{x^2}$ 变成 $e^{y^2}$，然后改变积分次序。
    • 假设原题是 $\int_0^1 dy \int_0^y e^{y^2} dx$。
      • 内积分：$\int_0^y e^{y^2} dx = x e^{y^2} |_0^y = y e^{y^2}$。
      • 外积分：$\int_0^1 y e^{y^2} dy$。令 $u=y^2$, $du=2y dy$。
        • $= \int_0^1 e^u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} e^u |_0^1 = \frac{1}{2} (e^1 - e^0) = \frac{e-1}{2}$。
    • 结论： 题目应该是 $\int_0^1 dy \int_0^y e^{y^2} dx$。
  • 极坐标系下：
    • 坐标变换： $x = \rho \cos\theta, y = \rho \sin\theta, dx dy = \rho d\rho d\theta$ (Jacobian 行列式)。
    • 适用场景： 积分区域是圆、圆环、扇形等与圆相关的区域；被积函数含有 $x^2+y^2$ 项。
  • 【试题关联：选择4】 考查二重积分的极坐标变换。
    • 区域 $D$： $1 \le x^2+y^2 \le 4$, $y \ge 0$。这是上半平面半径为1和2的同心圆环。
    • 极坐标限： $\rho$ 从 $1$ 到 $2$，$\theta$ 从 $0$ 到 $\pi$。
    • 被积函数： $\sqrt{x^2+y^2} = \rho$。
    • 变换： $\iint_D \sqrt{x^2+y^2} dx dy = \int_0^\pi d\theta \int_1^2 \rho \cdot \rho d\rho = \int_0^\pi d\theta \int_1^2 \rho^2 d\rho$。

2. 三重积分

  • 几何意义： 体积（当被积函数为1时）。
  • 计算方法：
    • 直角坐标系下： 转化为累次积分。需确定 $x,y,z$ 的积分限。
    • 柱面坐标系下：
      • 坐标变换： $x = \rho \cos\theta, y = \rho \sin\theta, z=z$。
      • 体积微元： $dV = \rho dz d\rho d\theta$。
      • 适用场景： 积分区域为圆柱体、圆锥体、抛物面等绕 $z$ 轴旋转的立体。
  • 【试题关联：解答1】 考查三重积分在柱面坐标系下的计算。
    • 区域 $\Omega$： $x^2+y^2=4$ (半径为2的圆柱体), $z=0$, $z=4$ (高度为4)。这是一个圆柱体。
    • 被积函数： $x^2+y^2 = \rho^2$。
    • 柱面坐标限： $\rho$ 从 $0$ 到 $2$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$， $z$ 从 $0$ 到 $4$。
    • 解题思路： $\iiint_\Omega (x^2+y^2) dV = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 \rho^2 \cdot \rho d\rho \int_0^4 dz = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 \rho^3 d\rho \int_0^4 dz$。

【易错点与提醒】

  • 画出积分区域是避免错误的关键一步。
  • 坐标变换时，Jacobian 行列式 $\rho$ 不要遗漏。
  • 极坐标和柱面坐标的适用范围（对称性）。
  • 注意积分限的顺序和变量关系。

四、曲线积分与曲面积分

（对应试卷：填空5，选择5，解答5，解答6）

1. 第一类曲线积分（对弧长）

  • 定义： $\int_L f(x,y,z) ds$。
  • 几何意义： 当 $f(x,y)=1$ 时，表示曲线弧长；当 $f(x,y)$ 为密度时，表示质量。
  • 计算： 参数化曲线 $L: x=x(t), y=y(t), z=z(t), t \in [\alpha, \beta]$。
    • $ds = \sqrt{(x’(t))^2 + (y’(t))^2 + (z’(t))^2} dt$。
    • 代入积分式：$\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t),z(t)) \sqrt{(x’(t))^2 + (y’(t))^2 + (z’(t))^2} dt$。
  • 【试题关联：选择5】 考查第一类曲线积分。
    • 曲线 $L$： 圆心在原点半径为 $a$ 的圆周。参数方程：$x=a\cos t, y=a\sin t, t \in [0, 2\pi]$。
    • $ds$： $ds = \sqrt{(-a\sin t)^2 + (a\cos t)^2} dt = \sqrt{a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t} dt = \sqrt{a^2} dt = a dt$。
    • 被积函数： $x^2+y^2+2x = (a\cos t)^2 + (a\sin t)^2 + 2(a\cos t) = a^2 + 2a\cos t$。
    • 积分： $\int_0^{2\pi} (a^2 + 2a\cos t) a dt = a \int_0^{2\pi} (a^2 + 2a\cos t) dt = a [a^2t + 2a\sin t]_0^{2\pi} = a(a^2 \cdot 2\pi + 0) = 2\pi a^3$。

2. 第二类曲线积分（对坐标）

  • 定义： $\int_L P dx + Q dy + R dz$。
  • 物理意义： 力场做的功。
  • 计算： 参数化曲线，将 $dx, dy, dz$ 替换为 $x’(t)dt, y’(t)dt, z’(t)dt$。
  • 与路径无关的条件（全微分）：
    • 平面区域： 若 $P,Q$ 及其一阶偏导数连续，则 $\int_L P dx + Q dy$ 与路径无关 $\iff \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$。
    • 空间区域： 类似条件，旋度为零。
    • 势函数（原函数）： 如果满足条件，则存在函数 $U(x,y)$ (或 $U(x,y,z)$) 使 $dU = P dx + Q dy$ (或 $dU = P dx + Q dy + R dz$)，此时积分值只与起点终点有关， $\int_L P dx + Q dy = U(终点) - U(起点)$。
  • 【试题关联：解答5】 考查第二类曲线积分与路径无关的条件及计算。
    • 第一步： 判断 $P dx + Q dy$ 是否为全微分。即检查 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$。
      • $P = ax\cos y - y^2\sin x$， $Q = by\cos x - x^2\sin y$。
      • $\frac{\partial P}{\partial y} = -ax\sin y - 2y\sin x$。
      • $\frac{\partial Q}{\partial x} = -by\sin x - 2x\sin y$。
      • 要使它们相等，则 $-ax\sin y = -2x\sin y$ 且 $-2y\sin x = -by\sin x$。
      • 得到 $a=2, b=2$。
    • 第二步： 计算积分。由于与路径无关，可以选择最简单的路径，例如连接 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的直线路径 $y=x$ 或分段路径 $(0,0) \to (1,0) \to (1,1)$。
      • 更简便的方法是找到势函数 $U(x,y)$。
        • $U(x,y) = \int P dx = \int (2x\cos y - y^2\sin x) dx = x^2\cos y + y^2\cos x + C(y)$。
        • $\frac{\partial U}{\partial y} = -x^2\sin y + 2y\cos x + C’(y)$。
        • 令其等于 $Q = 2y\cos x - x^2\sin y$，则 $C’(y)=0$，所以 $C(y)=C$。
        • 势函数 $U(x,y) = x^2\cos y + y^2\cos x + C$。
      • 积分值 $I = U(1,1) - U(0,0) = (1^2\cos 1 + 1^2\cos 1 + C) - (0^2\cos 0 + 0^2\cos 0 + C) = 2\cos 1$。

3. Green 公式（格林公式）

  • 条件： 曲线 $L$ 是闭合的、分段光滑的、简单正向曲线，区域 $D$ 是单连通区域。
  • 公式： $\oint_L P dx + Q dy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dx dy$。
  • 应用：
    • 计算闭合曲线积分。
    • 计算平面区域的面积（令 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1$，例如 $P=-y/2, Q=x/2$）。
  • 与路径无关的联系： 若 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$，则闭合曲线积分为 0，即与路径无关。

4. 第一类曲面积分（对面积）

  • 定义： $\iint_\Sigma f(x,y,z) dS$。
  • 几何意义： 当 $f(x,y,z)=1$ 时，表示曲面面积；当 $f(x,y,z)$ 为面密度时，表示质量。
  • 计算： 参数化曲面 $\Sigma$ 或投影法。
    • 投影法： 若曲面 $z=z(x,y)$ 投影到 $xy$ 面上的区域为 $D_{xy}$。
      • $dS = \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} dx dy$。
      • $\iint_\Sigma f(x,y,z) dS = \iint_{D_{xy}} f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} dx dy$。
    • 球面坐标： 球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 上， $dS = R^2 \sin\phi d\phi d\theta$。
  • 【试题关联：填空5】 考查球面上的第一类曲面积分。
    • 曲面 $\Sigma$： 球面 $x^2+y^2+z^2=4$ (半径 $R=2$)。
    • 被积函数： $f(x^2+y^2+z^2)$。在球面上， $x^2+y^2+z^2=4$。
    • 积分： $\iint_\Sigma f(x^2+y^2+z^2) dS = \iint_\Sigma 4 dS = 4 \iint_\Sigma dS = 4 \cdot (\text{球面面积})$。
      • 球面面积 $A = 4\pi R^2 = 4\pi (2^2) = 16\pi$。
      • 所以积分结果为 $4 \cdot 16\pi = 64\pi$。

5. 第二类曲面积分（通量）

  • 定义： $\iint_\Sigma P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iint_\Sigma \vec{F} \cdot \vec{n} dS$ (通量)。
  • 物理意义： 向量场穿过曲面的流量。
  • 计算： 投影法。
    • $dx dy$ 表示投影到 $xy$ 面上，与 $z$ 轴正向夹角为锐角（法向量 $z$ 分量大于0）时取正，否则取负。
    • 若曲面 $z=z(x,y)$，法向量 $\vec{n} = (-\frac{\partial z}{\partial x}, -\frac{\partial z}{\partial y}, 1)$ 或 $(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, -1)$，取决于曲面侧的选择。
  • 高斯公式（散度定理）：
    • 条件： 闭合曲面 $\Sigma$ 包围的区域为 $\Omega$，向量场 $\vec{F}=(P,Q,R)$ 及其一阶偏导数在 $\Omega$ 上连续。
    • 公式： $\iint_\Sigma P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) dV = \iiint_\Omega \text{div} \vec{F} dV$。
    • 应用： 将闭合曲面积分转化为三重积分，常用于计算通量。
  • 【试题关联：解答6】 考查高斯公式的应用。
    • 向量场： $\vec{F} = (x,y,z)$。
    • 散度： $\text{div} \vec{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1+1+1 = 3$。
    • 曲面 $\Sigma$： 抛物面 $z = x^2+y^2$ ($0 \le z \le 4$) 的下侧。这是一个不封闭的曲面。
    • 闭合曲面： 为了应用高斯公式，需要封闭曲面。用平面 $z=4$ 上 $x^2+y^2 \le 4$ 的圆盘 $\Sigma_1$ 封闭抛物面。
    • 封闭区域 $\Omega$： 由抛物面 $z=x^2+y^2$ 和平面 $z=4$ 围成的区域。
    • 高斯公式应用： $\iint_{\Sigma+\Sigma_1} \vec{F} \cdot \vec{n} dS = \iiint_\Omega \text{div} \vec{F} dV = \iiint_\Omega 3 dV = 3 \text{Vol}(\Omega)$。
      • 计算 $\text{Vol}(\Omega)$ 使用柱面坐标：$\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 \rho d\rho \int_{\rho^2}^4 dz = 2\pi \int_0^2 \rho (4-\rho^2) d\rho = 2\pi [2\rho^2 - \frac{1}{4}\rho^4]_0^2 = 2\pi (8-4) = 8\pi$。
      • 所以 $\iint_{\Sigma+\Sigma_1} \vec{F} \cdot \vec{n} dS = 3 \cdot 8\pi = 24\pi$。
    • 计算 $\Sigma_1$ 上的积分： $\Sigma_1$ 是 $z=4$ 的圆盘，法向量 $\vec{n}=(0,0,1)$ (上侧)。
      • $\iint_{\Sigma_1} \vec{F} \cdot \vec{n} dS = \iint_{\Sigma_1} (x,y,z) \cdot (0,0,1) dS = \iint_{\Sigma_1} z dS = \iint_{\Sigma_1} 4 dS = 4 \cdot (\text{圆盘面积}) = 4 \cdot \pi (2^2) = 16\pi$。
    • 原曲面 $\Sigma$ 积分： 题目要求下侧，所以法向量方向与高斯公式要求的向外法向量相反。
      • $\iint_\Sigma \vec{F} \cdot \vec{n}{\text{down}} dS = -\iint\Sigma \vec{F} \cdot \vec{n}_{\text{up}} dS$。
      • $\iint_{\Sigma+\Sigma_1} \vec{F} \cdot \vec{n}{\text{out}} dS = \iint\Sigma \vec{F} \cdot \vec{n}{\text{up}} dS + \iint{\Sigma_1} \vec{F} \cdot \vec{n}_{\text{up}} dS$。
      • 所以 $\iint_\Sigma \vec{F} \cdot \vec{n}_{\text{up}} dS = 24\pi - 16\pi = 8\pi$。
      • 最终结果为 $-8\pi$ (下侧)。但题目答案是 $8\pi$，这可能意味着题目默认是求向上的通量，或者在考场上默认按照标准法向量方向计算。解法中直接用 $8\pi$ 作为结果，可能是因为题目没有严格强调下侧法向量的方向，或者认为通量取正值。

【易错点与提醒】

  • 第一类和第二类积分的定义和计算方式不同，$ds$ 和 $dx dy$ 等的写法。
  • 第二类曲线积分中，参数化方向与积分路径方向一致性。
  • 格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的适用条件和公式内容。特别是高斯公式，要判断曲面是否封闭，若不封闭需补面。
  • 曲面积分中，法向量方向的选择（正侧/负侧，上侧/下侧，外侧/内侧）会影响符号。

五、常微分方程

（对应试卷：填空6，填空8，解答3，解答7）

1. 一阶微分方程

  • 可分离变量： $g(y)dy = f(x)dx$，两边积分。

  • 齐次方程： $y’ = f(y/x)$，令 $u=y/x$。

  • 一阶线性方程： $y’ + P(x)y = Q(x)$。

    • 通解公式： $y = e^{-\int P(x)dx} [\int Q(x) e^{\int P(x)dx} dx + C]$。

  • 全微分方程： $P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0$。

    • 判断条件： $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$。
    • 求解方法：
      • $U(x,y) = \int P(x,y) dx + C_1(y)$，再对 $y$ 求偏导与 $Q(x,y)$ 比较确定 $C_1(y)$。
      • 或 $U(x,y) = \int Q(x,y) dy + C_2(x)$，再对 $x$ 求偏导与 $P(x,y)$ 比较确定 $C_2(x)$。
    • 【试题关联：填空6】 考查全微分方程的判断和通解。
      • 判断条件： $M(x,y) = x^2-y, N(x,y) = ax$。 $\frac{\partial M}{\partial y} = -1$, $\frac{\partial N}{\partial x} = a$。
        • 要使方程为全微分方程，必须 $-1=a$，所以 $a=-1$。
      • 求通解： 当 $a=-1$ 时，方程为 $(x^2-y)dx - x dy = 0$。
        • $U(x,y) = \int (x^2-y) dx + C_1(y) = \frac{1}{3}x^3 - xy + C_1(y)$。
        • $\frac{\partial U}{\partial y} = -x + C_1’(y)$。
        • 令 $\frac{\partial U}{\partial y} = N(x,y) = -x$，则 $-x + C_1’(y) = -x$，所以 $C_1’(y) = 0$， $C_1(y) = C$。
        • 通解为 $\frac{1}{3}x^3 - xy = C$。

  • 可降阶方程（二阶方程）：

    • $y’’ = f(x, y’)$：令 $p = y’$。
    • $y’’ = f(y, y’)$：令 $p = y’$, $y’’ = p \frac{dp}{dy}$。

  • 【试题关联：解答3】 考查通过几何关系建立微分方程。

    • 解题思路：
      1. 设曲线方程为 $y=y(x)$，切点为 $(x,y)$。
      2. 切线方程为 $Y-y = y’(x)(X-x)$。
      3. 求切线在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距 $X_{截}$ 和 $Y_{截}$。
        • 令 $Y=0 \implies X_{截} = x - \frac{y}{y’}$。
        • 令 $X=0 \implies Y_{截} = y - x y’$。
      4. 根据题目条件“切线介于坐标轴间的部分被切点分成相等的两部分”，这意味着切点 $(x,y)$ 是 $(X_{截}, 0)$ 和 $(0, Y_{截})$ 的中点。
        • $x = \frac{X_{截}+0}{2} \implies X_{截} = 2x$。
        • $y = \frac{0+Y_{截}}{2} \implies Y_{截} = 2y$。
      5. 代入得 $2x = x - \frac{y}{y’}$ 和 $2y = y - x y’$。
        • 两式都化简为 $x = -\frac{y}{y’}$ 或 $y = -x y’$。
        • 得到微分方程 $y’ = -\frac{y}{x}$。
      6. 这是一个可分离变量的方程：$\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$。
      7. 积分：$\ln|y| = -\ln|x| + \ln C \implies \ln|y| = \ln|\frac{C}{x}| \implies y = \frac{C}{x}$ 或 $xy=C$。

2. 二阶常系数线性非齐次微分方程

  • 形式： $y’’ + py’ + qy = f(x)$。
  • 通解结构： $y = y_h + y_p$，其中 $y_h$ 是对应齐次方程的通解，$y_p$ 是非齐次方程的一个特解。
  • 齐次方程通解 $y_h$：
    • 特征方程：$r^2 + pr + q = 0$。
    • 根据特征根的类型：
      • 两不相等实根 $r_1 \ne r_2$： $y_h = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$。
      • 两相等实根 $r_1 = r_2 = r$： $y_h = (C_1 + C_2 x) e^{rx}$。
      • 一对共轭复根 $r = \alpha \pm i\beta$： $y_h = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$。
  • 非齐次特解 $y_p$（待定系数法）：
    • 原则： 根据 $f(x)$ 的形式构造 $y_p$。
    • 常见形式：
      • $f(x) = P_n(x) e^{\lambda x}$： 设 $y_p = x^k Q_n(x) e^{\lambda x}$。其中 $Q_n(x)$ 是与 $P_n(x)$ 同次的待定多项式，$k$ 是 $\lambda$ 作为特征根的重数（若不是特征根，则 $k=0$；若是单根，则 $k=1$；若是二重根，则 $k=2$）。
      • $f(x) = e^{\alpha x} (P_m(x) \cos(\beta x) + Q_n(x) \sin(\beta x))$： 设 $y_p = x^k e^{\alpha x} (R_N(x) \cos(\beta x) + S_N(x) \sin(\beta x))$。其中 $N=\max(m,n)$，$R_N, S_N$ 是待定多项式，$k$ 是 $\alpha+i\beta$ 作为特征根的重数。
  • 【试题关联：解答7】 考查二阶常系数线性非齐次微分方程的求解。
    • 齐次方程： $y’’ - 3y’ + 2y = 0$。
      • 特征方程 $r^2 - 3r + 2 = 0 \implies (r-1)(r-2)=0$。
      • 特征根 $r_1=1, r_2=2$。
      • 齐次通解 $y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$。
    • 特解： $f(x) = xe^{2x}$。
      • $P_n(x) = x$ ($n=1$)，$\lambda=2$。
      • $\lambda=2$ 是特征方程的单根，所以 $k=1$。
      • 设特解 $y_p = x^1 (Ax+B)e^{2x} = (Ax^2+Bx)e^{2x}$。
      • 计算 $y_p’, y_p’’$，代入原方程，比较系数，解出 $A,B$。
      • $y_p’ = (2Ax+B)e^{2x} + 2(Ax^2+Bx)e^{2x} = (2Ax^2+(2A+2B)x+B)e^{2x}$。
      • $y_p’’ = (4Ax+(2A+2B))e^{2x} + 2(2Ax^2+(2A+2B)x+B)e^{2x}$ $= (4Ax^2+(4A+4B+4A)x+(2A+2B+2B))e^{2x} = (4Ax^2+(8A+4B)x+(2A+4B))e^{2x}$。
      • 代入 $y’’ - 3y’ + 2y = xe^{2x}$： $e^{2x} [ (4Ax^2+(8A+4B)x+(2A+4B)) - 3(2Ax^2+(2A+2B)x+B) + 2(Ax^2+Bx) ] = xe^{2x}$。 $e^{2x} [ (4A-6A+2A)x^2 + (8A+4B-6A-6B+2B)x + (2A+4B-3B) ] = xe^{2x}$。 $e^{2x} [ 0x^2 + (2A)x + (2A+B) ] = xe^{2x}$。 比较系数： $2A = 1 \implies A = 1/2$。 $2A+B = 0 \implies 2(1/2)+B=0 \implies 1+B=0 \implies B = -1$。
      • 特解 $y_p = (\frac{1}{2}x^2-x)e^{2x} = x(\frac{1}{2}x-1)e^{2x}$。
    • 通解： $y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + x(\frac{1}{2}x-1)e^{2x}$。

【易错点与提醒】

  • 判断全微分方程的条件 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 易错。
  • 待定系数法中，特解形式的选择是关键，尤其要记住当 $f(x)$ 中的 $\lambda$ 是特征方程的根时，需要乘以 $x^k$。

六、无穷级数

（对应试卷：填空4，填空7，解答2，解答8）

1. 数项级数

  • 敛散性判别法：
    • 必要条件： 若 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛，则 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。反之不成立。
    • 正项级数判别法：
      • 比较判别法： 直接比较或极限比较。
      • 比值判别法（达朗贝尔判别法）： $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = L$。
        • 若 $L < 1$，收敛。
        • 若 $L > 1$，发散。
        • 若 $L = 1$，判别失效。
      • 根值判别法（柯西判别法）： $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L$。
        • 若 $L < 1$，收敛。
        • 若 $L > 1$，发散。
        • 若 $L = 1$，判别失效。
      • 积分判别法： 将级数项与对应函数的积分进行比较。
    • 交错级数判别法（莱布尼茨判别法）：
      • 条件：$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} u_n$ ($u_n>0$)，若 $u_n$ 单调递减且 $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$，则级数收敛。
  • 绝对收敛与条件收敛：
    • 若 $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 绝对收敛。绝对收敛的级数一定收敛。
    • 若 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛，但 $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ 发散，则 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 条件收敛。
  • 【试题关联：解答2】 考查级数的绝对收敛和条件收敛判别。
    • 级数： $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{2^n}{n!}$。
    • 首先判别绝对收敛性： 考虑正项级数 $\sum_{n=1}^\infty |\frac{2^n}{n!}| = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}$。
    • 使用比值判别法：$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1} = 0$。
    • 因为 $L=0 < 1$，所以级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}$ 收敛。
    • 因此，原级数 $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{2^n}{n!}$ 绝对收敛。

2. 幂级数

  • 形式： $\sum_{n=0}^\infty c_n (x-x_0)^n$。
  • 收敛半径 $R$ 和收敛区间：
    • 比值判别法： $\lim_{n \to \infty} |\frac{c_{n+1}}{c_n}| = L$ (或 $\lim_{n \to \infty} |\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}| = |x-x_0| L’$)。
      • 收敛半径 $R = \frac{1}{L}$ (或 $R = \frac{1}{L’}$)。
    • 根值判别法： $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} = L$。
      • 收敛半径 $R = \frac{1}{L}$。
    • 收敛区间： $(x_0-R, x_0+R)$。
    • 端点检验： 在 $x=x_0-R$ 和 $x=x_0+R$ 处，幂级数可能收敛也可能发散，需要单独判断。
  • 幂级数的性质： 在收敛区间内，幂级数可以逐项求导和逐项积分，且不改变收敛半径。
  • 幂级数的和函数： 利用已知级数（如几何级数、泰勒级数）的和函数，通过逐项求导/积分、代换、乘除等运算得到。
    • 几何级数： $\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}, |x|<1$。
    • 常用泰勒级数： $e^x, \sin x, \cos x, \ln(1+x), (1+x)^\alpha$ 等。
  • 【试题关联：填空4】 考查幂级数的展开式和收敛区间。
    • 函数： $f(x) = \frac{1}{x^2+4x+3} = \frac{1}{(x+1)(x+3)}$。
    • 部分分式分解： $\frac{1}{(x+1)(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+3}$。
      • $1 = A(x+3) + B(x+1)$。
      • 令 $x=-1 \implies 1 = 2A \implies A = 1/2$。
      • 令 $x=-3 \implies 1 = -2B \implies B = -1/2$。
    • $f(x) = \frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{2(x+3)}$。
    • 几何级数形式转换：
      • $\frac{1}{x+1} = \frac{1}{1-(-x)} = \sum_{n=0}^\infty (-x)^n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n, |x|<1$。
      • $\frac{1}{x+3} = \frac{1}{3(1+x/3)} = \frac{1}{3} \frac{1}{1-(-x/3)} = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^\infty (-x/3)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^{n+1}} x^n, |-x/3|<1 \implies |x|<3$。
    • 合并： $f(x) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n - \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^{n+1}} x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2} (-1)^n (1 - \frac{1}{3^{n+1}}) x^n$。
    • 收敛区间： 取两个级数收敛区间的交集，即 $|x|<1$。所以 $x \in (-1,1)$。
  • 【试题关联：解答8】 考查幂级数的收敛域和和函数。
    • 幂级数： $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$。
    • 收敛半径 $R$： 使用比值判别法。
      • $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}| = \lim_{n \to \infty} |\frac{(-1)^n x^{n+1}/(n+1)}{(-1)^{n-1} x^n/n}| = \lim_{n \to \infty} |\frac{x}{n+1} \cdot n| = |x| \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = |x| \cdot 1 = |x|$。
      • 要使级数收敛，需 $|x| < 1$。所以 $R=1$。
    • 端点检验：
      • $x=1$： 级数变为 $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{1}{n}$。这是交错级数 $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} u_n$，$u_n = 1/n$。
        • $u_n = 1/n > 0$，单调递减，$\lim_{n \to \infty} 1/n = 0$。
        • 由莱布尼茨判别法，级数收敛。
      • $x=-1$： 级数变为 $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{(-1)^n}{n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{2n-1}}{n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{-1}{n} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$。
        • 这是调和级数的负数，发散。
    • 收敛域： $(-1, 1]$。
    • 和函数：
      • 设 $S(x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$。
      • 逐项求导：$S’(x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{nx^{n-1}}{n} = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} x^{n-1}$。
      • $S’(x) = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots$。
      • 这是一个公比为 $-x$ 的几何级数，其和为 $\frac{1}{1-(-x)} = \frac{1}{1+x}$，适用于 $|-x|<1 \implies |x|<1$。
      • 逐项积分：$S(x) = \int \frac{1}{1+x} dx = \ln|1+x| + C$。
      • 由 $S(0) = 0$ (将 $x=0$ 代入原级数)，得 $\ln(1) + C = 0 \implies C=0$。
      • 所以和函数 $S(x) = \ln(1+x)$，适用于 $x \in (-1,1)$。
      • 根据 Abel 定理，当 $x=1$ 时，级数收敛到 $\lim_{x \to 1^-} \ln(1+x) = \ln(2)$。
      • 题目还问了 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$ 的和：
        • 这是 $-S(1)$ 的形式。
        • $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = -S(1) = -\ln(2)$。

3. 傅里叶级数（傅立叶级数）

  • 周期函数展开： 将周期函数分解为正弦和余弦函数的和。
  • 狄利克雷(Dirichlet)条件： 保证傅里叶级数收敛的条件。
  • 收敛性：
    • 若 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续，则 $S(x_0) = f(x_0)$。
    • 若 $f(x)$ 在点 $x_0$ 间断，则 $S(x_0) = \frac{f(x_0^+) + f(x_0^-)}{2}$。
  • 【试题关联：填空7】 考查傅里叶级数和函数在间断点的收敛值。
    • 函数： $f(x) = \begin{cases} x, & -\pi < x \le 0 \ -x, & 0 < x \le \pi \end{cases}$，周期 $2\pi$。
    • 求 $S(\pi)$： 点 $x=\pi$ 是函数周期延拓后的间断点。因为 $f(\pi)$ 是 $-x$ 在 $x=\pi$ 的值，为 $-\pi$。而 $f(\pi^+)$ (相当于 $f(-\pi^+)$) 对应的是 $x$ 在 $-\pi$ 的右极限，为 $-\pi$。
    • 更精确的看，在区间 $(-\pi, \pi]$ 上，函数在 $x=0$ 处连续 ($f(0)=0$)，但在 $x=\pi$ 处是区间的右端点，其值是 $f(\pi^-) = -\pi$。而 $f(\pi^+)$ 对应的是周期延拓后 $f(-\pi^+)$ 的值，即 $x \to -\pi$ 时的 $x$，为 $-\pi$。
    • 所以 $S(\pi) = \frac{f(\pi^-) + f(\pi^+)}{2} = \frac{-\pi + (-\pi)}{2} = -\pi$。
    • 仔细核对答案： 答案是 $-\frac{\pi}{2}$。这说明我对 $f(\pi^+)$ 的理解有偏差。傅里叶级数的和函数 $S(x)$ 在周期延拓的端点处，收敛到 $f(x_0)$ 和 $f(x_0+2L)$ （或 $f(x_0-2L)$） 的平均值。
    • 对于周期 $2\pi$ 的函数，傅里叶级数在 $x=\pi$ 处收敛到 $\frac{f(\pi^-) + f(\pi^+)}{2}$。
      • $f(\pi^-)$ 是 $f(x)$ 在 $x \to \pi$ 从左边的极限，根据 $f(x)=-x$ 定义， $f(\pi^-) = -\pi$。
      • $f(\pi^+)$ 是 $f(x)$ 在 $x \to \pi$ 从右边的极限。由于周期性 $f(x+2\pi)=f(x)$，所以 $f(\pi^+) = f(-\pi^+)$。
      • 根据 $f(x)=x$ 定义 (在 $(-\pi, 0]$)，$f(-\pi^+) = -\pi$。
      • 所以 $S(\pi) = \frac{-\pi + (-\pi)}{2} = -\pi$。
    • 再看答案 $-\frac{\pi}{2}$： 题目可能是故意考察 $x=\pm\pi$ 处的值。在标准 $2L$ 周期函数在 $[-L, L]$ 定义时，其傅里叶级数在 $x=\pm L$ 处收敛到 $\frac{f(L^-) + f(-L^+)}{2}$。
    • 在这里 $L=\pi$。$f(\pi^-) = -\pi$。$f(-\pi^+) = \lim_{x \to -\pi^+} x = -\pi$。
    • 因此 $S(\pi)$ 仍是 $-\pi$。
    • 重新考虑傅里叶级数和函数的性质： 对于周期为 $2L$ 的函数 $f(x)$，其傅里叶级数的和函数 $S(x)$ 在点 $x_0$ 处收敛于：
      • 若 $x_0$ 为连续点，则 $S(x_0) = f(x_0)$。
      • 若 $x_0$ 为跳跃间断点，则 $S(x_0) = \frac{f(x_0^+) + f(x_0^-)}{2}$。
    • 函数 $f(x)$ 在 $(-\pi, \pi]$ 上的定义为 $f(x) = \begin{cases} x, & -\pi < x \le 0 \ -x, & 0 < x \le \pi \end{cases}$。
    • $f(x)$ 是一个偶函数 ($f(-x)=f(x)$)。因此它的傅里叶级数是一个余弦级数。
    • 在 $x=\pi$ 处，其左极限 $f(\pi^-) = \lim_{x \to \pi^-} (-x) = -\pi$。
    • 其右极限，由于周期性，应该考虑 $f(\pi^+) = f(-\pi^+) = \lim_{x \to -\pi^+} x = -\pi$。
    • 所以 $S(\pi) = \frac{-\pi + (-\pi)}{2} = -\pi$。
    • 答案与我的分析不符。 可能是 $f(x)$ 的定义域有问题，或者该题有特定考法。但根据标准傅里叶级数理论，答案应为 $-\pi$。如果答案是 $-\pi/2$，则可能是函数在 $x=\pi$ 和 $x=-\pi$ 处的定义或者和函数理解有特殊约定。
    • 更新： 检查了一下，这个函数的图像是一个“屋顶”形，在 $x=\pi$ 和 $x=-\pi$ 处都是 $f(\pi) = -\pi$ 和 $f(-\pi)= \text{未定义，或设为}-\pi$。它的周期延拓在 $x=\pi$ 处是一个连续点。但 $x=\pi$ 是区间端点。
    • 最终： 既然试卷给出了答案，那么它可能暗示了在处理区间端点和周期函数延拓上的某种约定。但从标准的傅里叶级数和函数定义来看，在 $x=\pi$ 处的值应该是 $-\pi$。为了贴合题目，这里可能需要特别提醒学生注意傅里叶级数在周期端点处收敛值的特殊规定，但一般情况下 $S(L) = (f(L^-)+f(-L^+))/2$。
    • 再三核对： $f(x)$ 是定义在 $(-\pi, \pi]$ 上的偶函数。在 $x=\pi$ 处，值是 $f(\pi) = -\pi$。在 $x=-\pi$ 处，它的值是 $\lim_{x \to -\pi^+} f(x) = \lim_{x \to -\pi^+} x = -\pi$。
    • 对于周期为 $2L$ 的函数，在周期端点 $x=L$ 处，傅里叶级数收敛到 $\frac{f(L^-)+f(-L^+)}{2}$。
    • 这里 $L=\pi$，所以 $S(\pi) = \frac{f(\pi^-) + f(-\pi^+)}{2} = \frac{-\pi + (-\pi)}{2} = -\pi$。
    • 所以，如果答案是 $-\pi/2$，那意味着我的分析有误，或者题目有特殊设定。但根据常规理论，是 $-\pi$。 考虑到是期末考试，答案可能更优先。如果解答中没有给出计算过程，只有答案，那么这需要学生理解特殊情况下可能出现的约定。
    • 补充： 也有可能 $f(x)$ 的定义不是在 $(-\pi, \pi]$ 而是在 $[-\pi, \pi]$，并且 $f(-\pi)=f(\pi)$。但即便如此，结果仍是 $-\pi$。
    • 再看图： 这是一个锯齿波的变形，或者说绝对值函数 $|x|$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的定义。
      • $f(x) = |x|$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上。 但题目给出的是 $x$ 和 $-x$。
      • 如果函数是 $f(x) = |x|$ for $x \in [-\pi, \pi]$， 那么 $f(\pi) = \pi$, $f(-\pi)=\pi$。
      • 此时，傅里叶级数在 $x=\pi$ 处收敛到 $\frac{f(\pi^-) + f(-\pi^+)}{2} = \frac{\pi + \pi}{2} = \pi$。
      • 但题目给的函数是 $f(x)=x$ for $-\pi < x \le 0$ 和 $f(x)=-x$ for $0 < x \le \pi$。
      • 这个函数在 $(-\pi, \pi]$ 上的图像是：从 $(-\pi, -\pi)$ 到 $(0,0)$ 是直线 $y=x$，从 $(0,0)$ 到 $(\pi, -\pi)$ 是直线 $y=-x$。
      • 所以 $f(\pi) = -\pi$。 $f(-\pi)$ 不定义，但 $\lim_{x \to -\pi^+} f(x) = -\pi$。
      • 因此，和函数在 $x=\pi$ 处收敛到 $\frac{f(\pi^-) + f(-\pi^+)}{2} = \frac{-\pi + (-\pi)}{2} = -\pi$。
      • 结论： 除非题目存在印刷错误或某种特殊规定，否则标准答案应该是 $-\pi$。如果考题答案是 $-\pi/2$，这可能是个陷阱或概念理解上的微小偏差。在实际教学中，我会强调标准定义，并指出此类模糊点。

【易错点与提醒】

  • 数项级数各种判别法的适用条件和结论。
  • 绝对收敛和条件收敛的概念及区别。
  • 幂级数的收敛半径和收敛区间的求解（特别是端点检验）。
  • 利用已知级数求和函数是常用技巧。
  • 傅里叶级数在间断点处的收敛值是左右极限的平均值。在周期端点处，需要考虑周期延拓。

七、积分方程

（对应试卷：填空8）

1. 简单积分方程

  • 概念： 待求函数出现在积分号下。
  • 求解策略：
    • 微分法： 若积分上限是变量，可以通过对变量求导将积分方程转化为微分方程。
    • 莱布尼茨公式： $\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t) dt = f(x, b(x)) b’(x) - f(x, a(x)) a’(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x} f(x,t) dt$。
  • 【试题关联：填空8】 考查积分方程的微分法。
    • 方程： $f(x) + 2\int_0^x f(t) dt = x^2$。
    • 解题思路： 对两边关于 $x$ 求导。
      • $\frac{d}{dx} [f(x) + 2\int_0^x f(t) dt] = \frac{d}{dx} (x^2)$。
      • $f’(x) + 2f(x) = 2x$ (这里用到 $\frac{d}{dx} \int_0^x f(t) dt = f(x)$)。
    • 这是一个一阶线性微分方程：$f’(x) + 2f(x) = 2x$。
    • 初始条件： 令 $x=0$ 代入原积分方程：$f(0) + 2\int_0^0 f(t) dt = 0^2 \implies f(0) + 0 = 0 \implies f(0)=0$。
    • 求解 $f’(x) + 2f(x) = 2x$：
      • 使用通解公式：$f(x) = e^{-\int 2dx} [\int 2x e^{\int 2dx} dx + C]$。
      • $f(x) = e^{-2x} [\int 2x e^{2x} dx + C]$。
      • $\int 2x e^{2x} dx$ 可以用分部积分法：
        • $\int 2x e^{2x} dx = x e^{2x} - \int e^{2x} dx = x e^{2x} - \frac{1}{2}e^{2x}$。
      • $f(x) = e^{-2x} [x e^{2x} - \frac{1}{2}e^{2x} + C] = x - \frac{1}{2} + C e^{-2x}$。
    • 代入初始条件 $f(0)=0$： $0 = 0 - \frac{1}{2} + C e^0 \implies 0 = -\frac{1}{2} + C \implies C = \frac{1}{2}$。
    • 最终解： $f(x) = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{-2x}$。

【易错点与提醒】

  • 对积分方程求导时，要正确应用莱布尼茨公式。
  • 求出微分方程后，不要忘记利用原积分方程的初始值来确定常数 $C$。